Über Tests von Zufallszahlengeneratoren

Zusammenfassung Zahlreiche statistische Tests, darunter auch die Familie der Run-Tests (Abb.1.1-1.3), wur-den ersonnen, um die ordnungsgemäße Funktion von Zufallszahlengeneratoren zu überprü-fen, die (pseudo)gleichverteilte Zufallszahlen erzeugen. Ein einzelner Test prüft aber nur bestimmte Konstellationen ab, etwa die, dass eine Sequenz von Zufallszahlen nicht zu lange monoton wächst, dass die empirische Verteilung der Gleichverteilung entspricht oder dass Permutationen genau so häufig gefunden werden wie man erwartet. Deshalb ist es heute Standard, eine ganze Batterie von Tests [2] nacheinander anzuwenden, um Beson-derheiten in vielfältiger Hinsicht zu erkennen. Der so genannte Run-Test nach Knuth [1] untersucht Längen von streng monotonen Se-quenzen innerhalb einer Folge von gleichverteilten Zufallszahlen aus dem Intervall [0, 1). Nachfolgend wird o.B.d.A. nur der Fall streng monoton fallender Sequenzen behandelt. Die Verteilungsfunktion der zufälligen Längen L der Sequenzen ist bekannt: P(L = k) = k / (k + 1)! L kann einerseits sämtliche natürliche Zahlen k als Werte annehmen, andererseits werden die Wahrscheinlichkeiten für größer werdende k rasch klein. Es gelten für den Erwar-tungswert E(L) = e – 1 ≈ 1.71828 und für die Varianz V(L) = 3e-e² ≈ 0.76579. Man wird folglich keine sehr langen Sequenzen beobachten. Der Run-Test wird fälschlicherweise bereits in [1] und auch andernorts auf Zufallszahlen-generatoren für gleichverteilte ganze Zahlen angewandt. Für den Zufallszahlengenerator in SAS führt eine solche unkorrekte Bewertung zu einem Negativurteil. In dieser Arbeit werden für gleichverteilte ganze Zahlen die exakte Verteilung der Längen L streng monoton wachsender Sequenzen angegeben, in einem SAS Makro berechnet so-wie ihre Grenzverteilung für n → ∞ ermittelt. Zur Anwendung wird diese asymptotische Verteilung nicht empfohlen. Der Zufallszahlengenerator in SAS besteht den unter Ver-wendung der exakten Verteilung von L durchgeführten Run-Test und ist somit nicht zu be-anstanden.